本課程分成兩學期，修過本課 (一) 者， 建議續修 (二)；未修 (一) 者，基於授課連貫性的考慮，最好不要只修 (二) 。 本課的授課對象原則上是以修過(或同時修或自修過) “複變”的大學部生為主。 實際上就第一學期而言，“複變”是輔佐的位置，我們有用它，但並非太依賴它。

本課程計劃以"演進"的觀點來介紹橢圓函數的發展，此觀點的缺點是,從邏輯的角度看來並非很完美；優點則是較可以表現動機來源的直觀性， 因此在某些情況下可以用較少的預備知識得知該領域的大體想法。此外 "演進" 的方式較注重數學發展的連續性，對於個別的理論之間的聯繫因而可以藉之自然呈現，亦有助於學生對於數學史的初步了解。

欲介紹橢圓函數的梗概，不妨先轉向我們所熟悉的三角函數，它可看成橢圓函數的類比。 三角函數很重要的和差化積公式 (sin (a+b)=sin a cos b+…)， 簡稱之為"加法公式"是我們的出發點， 也將幾乎貫穿整個課程.， 例如歐拉(或稱尤拉) 基本上只憑加法公式， 就可以導出三角函數的無窮乘積與無窮部份分式的公式。(這些多半成為複變的一部分， 而被後世改用複變方法重新導出)。 我們將循著歐拉的精神， 藉著類比的(亦即橢圓積分版本的)"加法公式"而推導出橢圓函數的無窮乘積等等，平行於前述三角函數的性質。這個工作是於19世紀前期 Abel 的主要工作之一。 參考資料方面， 英文文獻似不見完整者 (見Rauch/Lebowitz)， 因此仍得回歸 Abel 的原始論文。

讀者試看 arc sin x, 它可用 (1-x平方) 再開平方的倒數的積分積到 x 來表示， 記為 I；而 sin x 則看成反函數。 類比上, 若將前者之x平方改成 x 四次方，其餘不動，則得另一積分 (是有點可怕的積分) 記之為 J； 讓我們也研究它的反函數，則所得到的函數將是橢圓函數的一種，引高斯的符號而記之為 sl x (唸成 lemniscate sine 或 sine lemn)。不難相信， sin x 的"加法公式" 可轉換成 arc sin x 的"加法公式" (反函數只是將變數對調)， 因此所謂的"加法公式"可倒轉成是純由積分 I 所表達的 "加法公式"。 現假想，若我們尚不知 sin x 的"加法公式"，但卻很會操作積分 I， 由純積分的操作而幸運地發現 I 的"加法公式"， 則只要如前述再倒轉變數， 就得回/重新證明 sin x 的"加法公式"了。換句話說，如果我們很會操作積分，則對於sin x 的"加法公式" 的了解，便可藉反函數的轉換而轉嫁於對於 I 的 "加法公式" 的了解。 現在的重點來了，類似的想法也被用在 sl x 上，前提是我們會操作那有點可怕的積分 J。所幸歐拉早早幫了忙，他技巧性兼湊答案式的操作該積分(但他並沒有產生動機去倒轉該積分以得 sl x)，使後來的 Abel 幾不費力就得到 sl x 的"加法公式"。 經驗告訴我們，三角的加法公式幾乎是了解三角函數的基礎。因此不意外地，Abel 有了sl x 的加法公式後可把三角函數的經驗全搬過來， 而得到許多 sl x 的基本性質，含無窮乘積等前面提到的結果。

Abel 在上述橢圓函數的無窮乘積方面的結果，可以看成是 theta 函數產生前的徵兆。 與三角函數做類比時，這 theta 函數是後者所欠缺的，因此 theta 是屬於橢圓函數的特色。 theta 函數的系統化的建構是由Jacobi 首先提出， 可惜 Jacobi 的辦法似乎"從天而降"。不但如此，他又有既多且奇特無比的關於 theta 的恆等式；要在動機不足的情況下去操作這些式子，我們須承認是不好上手的。 在2006 年 Armitage與Eberlein的書提到，由於Abel 的早世，使得橢圓函數產生不太恰當的後續發展， theta 函數來得並不自然。Rauch/Lebowitz 的書也說不出個中所以然，只是評論說 theta 函數這個是屬於數學史上"創造性數學" 而非"刻板性數學" 的最佳例證。 有鑑此，A/E 的書的目的之一是，若循著 Abel 的方法與想法，假想他當時還在世，那他將如何自然的走到 theta 呢？一個假設性又饒富啟發性的問題。了解 Abel 工作的話，將可以很快猜出答案，就是只要將Abel 在無窮乘積方面的結果改用到 Jacobi 橢圓函數，那百里已過九十了。此書並非 Abel 的工作的介紹，然而它部份的技巧將是我們討論 theta 時的參考書。

橢圓函數另一充滿無限創意的思維來自於高斯。 雖然他遠先於Abel/Jacobi，
例如 theta 方面他儘管不如 Jacobi 的系統化，可是他似超過 Abel。可惜高斯很少發表他在這個領域的"發現" (就像是自然科學上"發現"的意涵一樣)。 其中之一是， 他藉著任何中學生程度即接觸過的 "算術-幾何平均" 的序列─然而
卻是任何數學家都錯過的(除了Lagrange 差點做到)， 來表示橢圓函數的週期。
這樣一個難以想像兩者有任何聯繫的結論，對於高斯而言，不只是一個湊巧的事件，他藉此更進一大步幾乎已走到"模函數"的門檻了 (數學界獨立體會"模函數"只有在高斯之後至少大半世紀才發生)。高斯找到幾個辦法來解釋他的發現，其中是微分方程的技巧。 要了解此，讀者不妨試想以下問題： 假設已知冪級數展開，例如 sin x，單從級數本身可以見到 sin x 的週期性嗎？ 並不容易。 高斯要解決的問題有類似狀況。讀者請注意，橢圓函數是雙週期函數， 因此這兩個週期的比值， 便成為一個參數，暫稱之為模參數。可想像到的， 它可以間接用以"標示"橢圓函數的"種類"，亦即不同"種類"的橢圓函數理應給出不同的週期比值。 因此， "模參數"之於橢圓函數的"種類"的對應關係顯然亦是橢圓函數的特色之一。三角函數， 例如 sin x 只有一個週期，所以沒有不同的比值可言， 因此只有單一類，也缺乏"模參數"了。 故不妨將"模參數"與橢圓函數的"種類"互相取代, 而改稱橢圓函數的"種類"為"模參數"吧。總之， 高斯若要計算橢圓函數的週期，如上所言， 它將是依賴該橢圓函數的"種類"的。故名義上，可將此週期看成"模參數" (它是與"種類"互相取代後所改稱的) 的函數。

接下來， 高斯找出該週期函數所須滿足的微分方程， 並利用它而再找出該方程的對稱性，從而找出解(在此是週期函數) 的(對稱性)性質。 這是一個很有意義的想法，更驚奇的是， 若將週期再如前所述的方法又看回"種類"，則剛才得到的對稱性質就正是表示橢圓函數的"種類"竟然會擁有某種"對稱性質"！ 換句話說，原來這些"種類"並非都不一樣，而誰跟誰是同一個樣則等於是將他們說成是對稱的。這點是Abel/Jacobi 所不及者 (高斯不完全澄清這些技巧，但至少有一部分是涉及到的)。以上高斯利用微分方程的對稱性的想法的極致延伸， 終於在 19 世紀後期的 Poincare 關於自守函數的工作上， 得到最綜和性且最大的推廣。 這方面推廣的討論將不在本課程範圍。 再回到高斯， 他這方面的英文文獻似殘缺不全， 我們將回歸高斯部份原稿， 再加以我個人的整理，這課題的一部份應是可以了解的。

我預計以上課題可以在兩學期內陸續完成， 並且應該還有剩餘時間， 則我將考慮以下課題。 其一是變換論， 這是"加法公式" 的推廣， 但是以微分方程的問題呈現。 從代數幾何的角度， 它在探討給定兩橢圓曲線(它是滿足某些總次數三或四的x, y 不可約多項式的零點集) 如何有充分條件， 以判定兩曲線 P(x,y)=0，Q(u, v)=0 有"對應"(不一定一對一) 關係。或說是，藉著任何有理函數的變數變換 x=x(u,v)，y=y(u,v) 第一個方程式 P(x,y)=0 轉成第二個Q(u,v)=0。 這有點像是高中變數變換(當時只用線性變換)， 將其中一個二次錐線轉成另一個二次錐線這類坐標變換問題的推廣， 只是現在是三次式，並且變數變換容許非線性的有理函數變換。用代數幾何的專業術語， 這是"isogeny" 的問題， 但我們不走到代數幾何， 而是將用接近前述討論高斯時所用的微分方程的觀點來解釋。 即當我們有 "isogeny" 時， 可以得到某微分方程的"對稱"。反之，是否所有該微分方程的"對稱"必來自 "isogeny"，則似是一個 open 的問題。

第二個課題是著名的Abel 定理， 它可視為前述"加法公式" 的另一個推廣。
此定理的古典的證明甚至不到一頁，但是此定理的陳述大大出乎當時數學家的意料， Jacobi 佩服不已。 歐拉、高斯不但都沒有留下這方面的痕跡，歐拉甚至已證明某種比橢圓情況更廣義的"加法公式" 是不可能存在的。而Abel 做了難以想像的推廣， 甚至將此定理延伸至一個地步，可以預見後來的黎曼面的拓樸量 "genus" (譯為"虧格") 對於"加法公式"所扮演的角色。 換言之，Abel 可以說已經用他的"加法公式"在毫無黎曼面的指引下竟然發現了 genus 這個不變量。後世代數幾何課本再重整 Abel 定理則多半是該定理的 special case。 最完整版的Abel 定理似少見諸於當代文獻。讀者現在可以猜到， 這部分也有微分方程的意涵.，只是這個微分方程似乎未見後續發展。

古典橢圓函數還有一個重要的課題: Jacobi 反問題。我們不一定有時間討論，以下可當成讀者延伸閱讀的指引。Jacobi 提出這個反問題的初衷似仍來自於Abel 的"超橢圓"(hyper-elliptic)函數或積分， 可是 Jacobi 本人及其學派對它做了有深刻意義的初步研究後，顯然得到Abel 原想法意料之外的新發現。這個新發現引起橢圓函數的兩種推廣之一：Abelian 函數 (另一推廣是自守函數)，因而有人認為 Abelian函數應該也要加上Jacobi 的名字才對。 總而言之， 它們是後世代數幾何的 Abelian variety 或是 Abel-Jacobi map 的古典根源， 而Jacobi 反問題的完整的解答則必須藉由黎曼的 theta 函數才得解決。

對於前段所言，讀者可思考如下： 橢圓函數是雙週期函數，將其基本週期記為 U，V，則它們在複數平面上是兩個不同的方向，因此所有可能的週期應是 U， V 的所有可能的整數線性組合。 這看成兩個方向構成的平移對稱群顯然是一可換群， 而所謂的 "週期"， 其意不外是， 橢圓函數在此可換群的作用下是不變的。我們說 Abelian 函數是橢圓函數的推廣，這在於它是多變數的週期函數，即 n 個複變數, 2n 個週期，(橢圓函數是 n=1)。此看似單純推廣的Abelian 函數， 其實得來卻是高度 non-trivial 的，耗費 Jacobi 許多心思。 最直接單純的想法當然是如法泡製以上 sl x 的由來, 而考慮 Abelian 積分(是一種你所能想像到的任何代數表法的積分—例：任意 x 的多項式的任意次根的組合的積分) 的反函數吧！Abel 確曾如此考慮過。 Jacobi 的絕妙發現在於， 這麼做並不完全可行 (若可行我們就只需要一個變數而不需走到多變數了)。 更有絕佳創意的是， Jacobi 還提出神來一筆的修改的方式，使得前述 Abel 反轉積分以得 sl x 的原始想法， 在此更一般的情形下不致完全失敗。 這或許是Jacobi 在橢圓函數方面較未落後於 Abel 之處。 總之， 在這樣重整過後的新產物， Jacobi 為尊敬 Abel 而稱為 Abelian 函數。 如是， 則稱為 Jacobi 函數亦似不為過。 橢圓函數的另一推廣是為單變數的"自守函數"，由 19 世紀後期 Klein/Poincare 所構思。 它是橢圓函數的推廣的意義在於，正如剛才提到橢圓函數的週期性看成是在平移可換群的作用下的不變性，而自守函數則是在某類非可換群(與非歐幾何的剛性運動群有關) 的作用下是不變的。 除非我們考慮前面談高斯時提過的"模函數"的對稱概念—將會得自守函數的特例， 否則這個推廣已經遠超過橢圓函數的概念所能延伸到的範圍了。 簡言之， 讓我們只說它是來自於Poincare 所考慮的一個完全不同方向的問題—了解微分方程的對稱。

倘若我們循著古典路線再走下去， 自然我們會聯想到， 前面敘述的微分方程的辦法還有沒有在此推廣的積分/推廣的函數上扮演何種角色？ 這時就走到了 Picard-Fuchs方程。 當代對於Picard-Fuchs 的研究不少，但是它們的"對稱性"是否被充分研究過? 前面橢圓函數時已提過這類"對稱性"的幾何根源是 isogeny， 則 isogeny 的概念在此處的適當推廣為何(不只是維數增加)， 似仍未在當代文獻見到。 總之， "幾何性"的微分方程的對稱，即使是古典方面，已是一大課題，未來有機會我們再開課，就此做綜和性的討論。

古典橢圓函數在數論方面的應用是很有趣的；Jacobi 是第一個提出者，但我們幾乎不會碰觸到它們。 對此感興趣的同學請選修本系數論方面的課程。此外，對於代數幾何、黎曼面有興趣者，亦可再選修本系這方面開設的課程。